algebra lineal

1. Inducción Electromagnética en Campos No Uniformes

La inducción electromagnética en regiones donde el campo magnético $\vec{B}$ varía espacialmente requiere una combinación precisa de la Ley de Biot-Savart, el cálculo del flujo magnético ($\Phi_B$) mediante integración y la aplicación de la Ley de Faraday-Lenz utilizando la regla de la cadena para acoplar el movimiento mecánico con el cambio temporal.

Fundamento Teórico y Deducción Matemáticas

Imaginemos un conductor rectilíneo e infinito por el que circula una corriente constante $I$ a lo largo del eje $z$. Este conductor genera un campo magnético no uniforme cuya magnitud disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia radial $x$. Según la Ley de Biot-Savart, el campo a una distancia $x$ viene dado por:

$$B(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$$

Si una espira conductora rectangular de ancho $L$, largo $L$ y resistencia $R$ se mueve con una velocidad constante $v = \frac{dx}{dt}$ alejándose del hilo conductor, el flujo magnético que atraviesa la espira no es simplemente el producto del campo por el área, sino que debe calcularse mediante una integral de superficie debido a la naturaleza no uniforme de $\vec{B}(x)$.

El flujo magnético diferencial a través de una franja de ancho $dx$ y altura $L$ es $d\Phi_B = B(x) \cdot L , dx$. Evaluando la integral desde la posición del extremo más cercano ($x$) hasta el extremo más lejano ($x+L$):

$$\Phi_B = \int_{x}^{x+L} \frac{\mu_0 I}{2\pi x'} L , dx' = \frac{\mu_0 I L}{2\pi} \left[ \ln(x') \right]_{x}^{x+L} = \frac{\mu_0 I L}{2\pi} \ln\left(\frac{x+L}{x}\right)$$

Para calcular la fuerza electromotriz (fem) inducida ($\mathcal{E}$), aplicamos la Ley de Faraday. Como la posición $x$ es una función implícita del tiempo debido al movimiento de la espira, empleamos la regla de la cadena:

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d\Phi_B}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$$

Derivamos el flujo respecto a la posición espacial $x$:

$$\frac{d\Phi_B}{dx} = \frac{\mu_0 I L}{2\pi} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \ln(x+L) - \ln(x) \right] = \frac{\mu_0 I L}{2\pi} \left( \frac{1}{x+L} - \frac{1}{x} \right)$$

$$\frac{d\Phi_B}{dx} = \frac{\mu_0 I L}{2\pi} \left( \frac{x - (x+L)}{x(x+L)} \right) = -\frac{\mu_0 I L^2}{2\pi x(x+L)}$$

Sabiendo que la velocidad de la espira es $v = \frac{dx}{dt}$, multiplicamos ambos términos (el signo negativo de la ley de Faraday se cancela con el signo de la derivada):

$$\mathcal{E} = \frac{\mu_0 I v L^2}{2\pi x(x+L)}$$

Finalmente, por la ley de Ohm, la corriente inducida $I_{\text{ind}}$ que circula por la espira de resistencia $R$ es:

$$I_{\text{ind}} = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{\mu_0 I v L^2}{2\pi R x(x+L)}$$

⚠️ Pitfall Común: Un error analítico frecuente es tratar el campo magnético como si fuera constante dentro de la espira y evaluar el flujo usando el valor de $B$ en el centro de la masa de la espira. Esto ignora por completo la curvatura espacial del campo y altera el denominador del resultado, lo cual es incorrecto.

TL;DR

La corriente inducida en una espira que se mueve en un campo no uniforme se calcula combinando la integración espacial del campo de Biot-Savart con la regla de la cadena para la variación temporal del flujo: $I_{\text{ind}} = \frac{\mu_0 I v L^2}{2\pi R x(x+L)}$.